Как да намерите площта на кръгъл сегмент

Един от често срещаните геометрични проблеми е да се изчисли площта на кръгъл сегмент - частта от окръжност, ограничена от акорд, и съответния акорд на дъга на окръжност.

Площта на кръговия сегмент е равна на разликата между площта на съответния кръгов сектор и площта на триъгълника, образувана от радиусите на съответния сегмент на сектора и хордата, ограничаваща сегмента.

Пример 1

Дължината на акорда, свиващ кръг, е равна на стойността на a. Мярката на степента на дъгата, съответстваща на акорда, е 60 °. Намерете областта на кръговия сегмент.

решение

Триъгълник, образуван от два радиуса и акорда, е равнобедрен, така че височината, изтеглена от горната част на централния ъгъл до страната на триъгълника, образувана от акорда, също ще бъде бисектриса на централния ъгъл, като я намалите наполовина и средната, като намалите наполовина акорда. Знаейки, че синусът на ъгъла в правоъгълен триъгълник е равен на съотношението на противоположната страна към хипотенузата, можем да изчислим радиуса:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2;

R = a.

Площта на сектора, съответстваща на даден ъгъл, може да се изчисли по следната формула:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

Площта на триъгълника, съответстваща на сектора, се изчислява, както следва:

S ▲ = 1/2 * ah, където h е височината, изтеглена от върха на централния ъгъл към акорда. Съгласно теоремата на Питагор, h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

Съответно S ▲ = √3 / 4 * a².

Площта на сегмента, изчислена като Sseg = Sc - S ▲, е равна на:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

Замествайки числова стойност вместо a, можете лесно да изчислите числовата стойност на областта на сегмента.

Пример 2

Радиусът на окръжността е равен на a. Мярката на степента на дъгата, съответстваща на сегмента, е 60 °. Намерете областта на кръговия сегмент.