Как да решим уравнения с корени

Понякога в уравненията има знак за корен. На много студенти изглежда, че е много трудно да се разрешат такива уравнения „с корени“ или, по-правилно казано, ирационални уравнения, но това не е така.

Инструкция за употреба

1

За разлика от други видове уравнения, например квадратични или линейни системи от уравнения, няма стандартен алгоритъм за решаване на уравнения с корени или по-точно ирационални уравнения. Във всеки конкретен случай е необходимо да се избере най-подходящият метод на решение въз основа на "външния вид" и характеристиките на уравнението.

Повишаването на части от уравнението до една и съща степен.

Най-често за решаване на уравнения с корени (ирационални уравнения) се използва издигането на двете страни на уравнението до една и съща степен. Като правило, до степен, равна на степента на корена (квадрат за квадратен корен, куб за кубичен корен). Трябва да се има предвид, че когато повдигате лявата и дясната страна на уравнението до равномерна степен, той може да има „допълнителни“ корени. Следователно в този случай трябва да се проверят получените корени, като се заменят в уравнението. Особено внимание при решаването на уравнения с квадратни (четни) корени трябва да се обърне на обхвата на допустимите стойности на променливата (ODZ). Понякога самото оценяване на ODL е достатъчно, за да се реши или значително опрости уравнението.

Пример. Решете уравнението:

√ (5x-16) = x-2

Ние квадрат на двете страни на уравнението:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ², откъдето получаваме последователно:

5x-16 = x²-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

h²-9x + 20 = 0

Решавайки полученото квадратично уравнение, намираме неговите корени:

x = (9 ± √ (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

x = (9 ± 1) / 2

x1 = 4, x2 = 5

Подставяйки и двата намерени корена в първоначалното уравнение, получаваме правилното равенство. Следователно и двете числа са решения на уравнението.

2

Метод за въвеждане на нова променлива.

Понякога е по-удобно да намерите корените на „уравнение с корени“ (ирационално уравнение), като въведете нови променливи. Всъщност същността на този метод просто се свежда до по-компактен запис на решението, т.е. вместо да пишете обемисти изрази всеки път, той се заменя с легенда.

Пример. Решете уравнението: 2x + √x-3 = 0

Можете да разрешите това уравнение, като отрежете двете страни. Самите изчисления обаче ще изглеждат доста тромави. С въвеждането на нова променлива процесът на вземане на решения ще се окаже много по-елегантен:

Въвеждаме нова променлива: y = √ x

Тогава получаваме обикновеното квадратично уравнение:

2y² + y-3 = 0, с променлива y.

Решавайки полученото уравнение, намираме два корена:

y1 = 1 и y2 = -3 / 2, замествайки намерените корени в израза за новата променлива (y), получаваме:

√ x = 1 и √ x = -3 / 2.

Тъй като квадратната коренна стойност не може да бъде отрицателно число (ако не докоснете областта на сложни числа), получаваме единственото решение:

x = 1.

квадратно коренно решение