Как да се изчисли площта на паралелограм, построен върху вектори

На всеки два неколинеарни и ненулеви вектора може да се изгради паралелограм. Тези два вектора ще свият паралелограм, ако комбинирате произхода им в един момент. Завършете страните на фигурата.

Инструкция за употреба

1

Намерете дължините на векторите, ако са дадени техните координати. Нека например векторът A да има координати (a1, a2) в равнината. Тогава дължината на вектора A е | A | = √ (a1² + a2²). По подобен начин намираме модула на вектора B: | B | = √ (b1² + b2²), където b1 и b2 са координатите на вектора B в равнината.

2

Площта на паралелограма се намира по формулата S = | A | • | B | • sin (A ^ B), където A ^ B е ъгълът между дадените вектори A и B. Синусът може да бъде намерен през косинуса, използвайки основната тригонометрична идентичност: sin²α + cos²α = 1. Косинусът може да се изрази чрез скаларното произведение на векторите, написани в координати.

3

Скаларният продукт на вектор A от вектор B се обозначава с (A, B). По дефиниция тя е равна на (A, B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). И в координати скаларният продукт се записва така: (A, B) = a1 • b1 + a2 • b2. От тук можем да изразим косинуса на ъгъла между векторите: cos (A ^ B) = (A, B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + b2²). В числителя скаларното произведение, в знаменателя - дължините на векторите.

4

Сега можем да изразим синуса от основната тригонометрична идентичност: sin²α = 1-cos²α, sinα = ± √ (1-cos²α). Ако приемем, че ъгълът α между векторите е остър, минусът със синуса може да бъде отхвърлен, оставяйки само знака плюс, тъй като синусът на острия ъгъл може да бъде само положителен (или нула при нулев ъгъл, но тук ъгълът е не нулев, това се показва в условието неколинеарност на векторите).

5

Сега трябва да заместим координатния израз на косинуса във формулата на синуса. След това остава само да запишем резултата във формулата на областта на паралелограма. Ако всичко това е направено и числовият израз е опростен, тогава се оказва, че S = a1 • b2-a2 • b1. По този начин площта на паралелограма, изградена върху векторите A (a1, a2) и B (b1, b2), се намира по формулата S = a1 • b2-a2 • b1.

6

Полученият израз е детерминантът на матрицата, съставена от координатите на векторите A и B: a1 a2b1 b2.

7

Всъщност, за да получим детерминанта на матрица от измерение две, трябва да умножим елементите на основния диагонал (a1, b2) и да извадим от това произведението на елементите на страничния диагонал (a2, b1).