Как да решим системи от уравнения

Не е трудно да се реши системата от уравнения, като се използват основните методи за решаване на системи от линейни уравнения: методът на заместване и методът на добавяне.

Инструкция за употреба

1

Нека разгледаме методите за решаване на система от уравнения, използвайки пример за система от две линейни уравнения с две неизвестни стойности. В общи линии такава система се записва по следния начин (отляво уравненията се комбинират с къдрава скоба):

ax + b = c

dx + ey = f, къде

a, b, c, d, e, f са коефициентите (специфични числа), а x и y, както обикновено, са неизвестни. Числата a, b, c, d се наричат ​​коефициенти за неизвестни, а c и f се наричат ​​свободни термини. Решението на такава система от уравнения се намира чрез два основни метода.

Решението на системата от уравнения по метода на заместване.

1. Взимаме първото уравнение и изразяваме едно от неизвестните (x) по отношение на коефициентите, а другото неизвестно (y):

x = (s-by) / a

2. Заместете израза, получен за x, във второто уравнение:

d (c-by) / a + ey = f

3. Решавайки полученото уравнение, намираме израза за y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. Заменете получения израз за y в израза за x:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Пример: трябва да разрешите система от уравнения:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Намерете стойността на x от първото уравнение:

x = (2y + 4) / 3

Заменете получения израз във второто уравнение и получете уравнение с една променлива (y):

(2y + 4) / 3 + 3y = 5, откъдето получаваме:

у = 1

Сега заместваме намерената стойност на y в израза за променливата x:

x = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

Отговор: x = 2, y = 1.

2

Решението на системата от уравнения по метода на събиране (изваждане).

Този метод се свежда до умножаване на двете страни на уравненията по числа (параметри), така че в резултат на това коефициентите на една от променливите съвпадат (вероятно с противоположния знак).

В общия случай и двете страни на първото уравнение трябва да бъдат умножени по (-d), а двете страни на второто уравнение по a. В резултат на това получаваме:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

Добавяйки получените уравнения, получаваме:

-bdu + aeu = -cd + af, откъде получаваме израза за променливата y:

y = (af-cd) / (ae-bd), замествайки израза за y във всяко уравнение на системата, получаваме:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = c?

от това уравнение намираме второто неизвестно:

x = (ce-bf) / (ae-bd)

Пример. Решете системата от уравнения чрез добавяне или изваждане:

3x-2y = 4

x + 3y = 5

Умножете първото уравнение по (-1), а второто по 3:

-3x + 2y = -4

3x + 9y = 15

Добавяйки (термин по термин) и двете уравнения, получаваме:

11y = 11

Къде можем да вземем:

у = 1

Заместваме получената стойност за y в някое от уравненията, например във второто, получаваме:

3x + 9 = 15, откъдето

x = 2

Отговор: x = 2, y = 1.